以前のApple IDのサインアウトをできない場合、まずは変更前のApple IDの有効化が必要です。元々使っていたApple IDに変更し直すことで変更前のApple IDが有効になり再度iCloudで正しく認識されるようになります。
Apple IDを戻す場合はiPhoneからだと弾かれてしまう可能性があるのでApple IDの管理ページから戻しましょう。上記のApple IDの変更の手順と同じ手順なので詳しくは上記を参考にしてください。
Apple ID管理ページ＞Apple IDの変更＞変更前のアドレスに戻す
iCloudサインアウト
変更前のApple IDを有効化できたらiCloudからサインアウトを行います。サインアウトの手順も上記のサインアウトの手順と同様なので上記を参考にしてサインアウトをしてみてください。
新しいApple IDの有効化
iCloudからサインアウトができたら、変更したいメールアドレスをApple IDとして有効化します。古いApple IDを有効化した手順と同じ手順で新しいApple IDを設定しましょう。
iCloudサインイン
最後に変更後のApple IDでiCloudにサインインを行います。変更後のApple IDとパスワードでサインインをすれば完了です。
まとめ
いかがでしたでしょうか？「iCloudにサインイン」の表示がしつこい場合はシステム面でトラブルが起きている可能性が非常に高い状態です。今回紹介した対処法を使えばほとんどの場合解決することができます。
しつこく「iCloudにサインイン」が表示されると使っているだけでストレスを感じてしまうので解決するための参考にしてみてください。